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Sociedad Española de Investigación
en Educación Matemática
Tesis Doctorales en Educación Matemática

Límite finito de una sucesión: fenómenos que organiza.

  • Autor: Francisco Javier Claros Mellado.
  • Director: Dr. Moisés Coriat Benarroch.
  • Fecha y lugar de defensa: 15 de julio de 2010. Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada.
  • Tribunal:
    • Presidente: Dr. Luis Rico Romero.
    • Secretario: Dr. José Luis González Mari.
    • Vocales: Dra. Carmen Azcárate, Dr. Modesto Sierra, Dr. Tomás Ortega.
  • Calificación: Sobresaliente cum Laude.

Resumen

La investigación se desarrolla en seis capítulos; descubre dos fenómenos que organiza la definición de límite finito de una sucesión y estudia relaciones entre tales fenómenos y la propia definición.

El capítulo primero realiza una revisión de antecedentes; muestra cómo relevantes investigaciones han tratado de manera no-diferenciada varios tipos de límites (límite infinito de una sucesión, límite finito de una sucesión, límite de una función). Constituye un paso esencial para configurar un marco teórico.

En el segundo capítulo, el autor sustenta ese marco en tres pilares: Fenomenología (Freudenthal, 1983), Sistemas de Representación (Castro y Castro, 1997 y Rico, 2000) y Pensamiento Matemático Avanzado (Dreyfus, 1990 y Tall, 1991). Además, expone la metodología, los objetivos y las hipótesis de investigación.ite finito de una sucesión organiza los dos fenómenos siguientes.

La descripción y análisis detallado de los fenómenos se desarrolla en el capítulo tercero. La investigación expone (y ésta es su aportación principal) cómo el límite finito de una sucesión organiza los dos fenómenos siguientes.

  • Aproximación simple intuitiva (a.s.i.). Dados k términos ordenados de una sucesión, generalmente consecutivos, (1, a1), (2, a2), ..., (k,ak), caracterizamos la aproximación simple intuitiva como el fenómeno observado al inspeccionar la secuencia de valores a1, a2, ..., ak cuando "parecen acercarse" a otro valor fijo. Modelo: En la sucesión (1,1), (2,1/2), (3,1/3),..., los términos 1/n, parecen acercarse a 0 a medida que n crece.
  • Retroalimentación o ida-vuelta en sucesiones (i.v.s). Una vez establecido el entorno del candidato a límite con el ε dado, "vamos" desde éste hacia la variable natural para determinar el correspondiente n asociado a ε y "volvemos" al entorno del límite para comprobar que las imágenes así obtenidas pertenecen al entorno considerado. En la retroalimentación se lleva a cabo la construcción efectiva de una nueva función (ε, nε) que queda vinculada unívocamente a la sucesión. De hecho, con el apoyo de la propia sucesión de referencia, la definición formal de límite finito de una sucesión induce la construcción simbólica de tal función o la demostración de su existencia, la cual sirve para establecer una propiedad de la sucesión dada. Modelo: Partiendo de la sucesión (n, 1/n) se construye la función (ε, E(1/ε) + 1) donde E designa la función parte entera. Una vez fijado ε, tenemos que determinar n_0 a partir del cual |1/n| < ε; resolviendo esta inecuación tendríamos que n debe ser mayor que (1/ε) + 1. Para asegurarnos que sea un número natural tomamos n_0 = E(1/ε)+1.

En el capítulo cuarto se estudian 30 libros de texto de bachillerato publicados entre 1933 y 2005. Se analizaron los libros para observar las fenómenos indicados. El recuento de la frecuencia con la que apareció cada fenómeno arrojó una serie de conclusiones generales: (1) Hasta los años 70, el fenómeno de aproximación simple intuitiva (a.s.i) es casi inexistente. (2) Durante los años 80, se producen diferentes experimentos en los libros de texto, con presencia de diferentes códigos de fenómenos. Estos experimentos anticipan una disminución frecuencial del fenómeno i.v.s y un correspondiente aumento de la frecuencia del fenómeno a.s.i. (3) Tal hecho se produjo sobre todo a partir de los años 90, en los que se observó una correlativa lenta reducción de los sistemas de representación a favor del sistema de representación verbal.

El capitulo cinco, lleva a cabo un trabajo con alumnos para buscar esos fenómenos en sus producciones; se describen las etapas diseñadas para elaborar el instrumento (cuestionario de 4 preguntas; categorías de análisis), su administración a 143 alumnos de tres IES de la comunidad de Madrid y los resultados obtenidos. Los alumnos, en la mayoría de sus respuestas, usaron la representación verbal en el fenómeno a.s.i, pero apenas la usaron en el fenómeno i.v.s.

El capítulo sexto revisa los resultados obtenidos, expone reflexiones adicionales y enuncia tareas pendientes, entre las que se incluye la elaboración de una secuencia di-dáctica que incorpore los fenómenos en el proceso de enseñanza-aprendizaje del límite finito de una sucesión.

El documento completo se puede descargar de la página: http://fqm193.ugr.es/produccion-cientifica/tesis/ver_detalles/6586/descargar/

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