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Sociedad Española de Investigación
en Educación Matemática
Tesis Doctorales en Educación Matemática

Los Ejemplos en Clase de Matemáticas de Secundaria como referente del Conocimiento Profesional.

  • Autor: Carlos Alberto Barros Pacheco Abrantes de Figueiredo.
  • Directores: Dr. Lorenzo Jesús Blanco Nieto y Dr. Luis Carlos Contreras González.
  • Fecha y lugar de defensa: 18 de febrero de 2011. Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Extremadura.
  • Calificación: Sobresaliente cum Laude por unanimidad.

Resumen

Las matemáticas se enseñan, primordialmente, a través de los ejemplos, aprendiendo más de ellos que de las definiciones. De hecho, las definiciones adquieren algún significado a partir de los ejemplos, ya que el lenguaje técnico de las matemáticas describe clases de objetos o relaciones con las cuales los alumnos deben familiarizarse. Es a través de los ejemplos como los profesores transmiten la esencia de los conceptos matemáticos y técnicas de calculo, constituyéndose en la base para las generalizaciones, abstracciones y razonamientos analógicos. Los ejemplos son, pues, parte integrante de las matemáticas y un elemento importante en el conocimiento especializado del profesor de matemáticas.

La mayoría de los profesores de matemáticas usamos de una forma o de otra los ejemplos en nuestra práctica docente, ya sea revelando un modo en particular de cómo se resuelve un problema, ya sea en la preparación de las clases. Por ello, resulta relevante estudiar la ejemplificación que usan los profesores.

Algunos autores sitúan la ejemplificación dentro del conocimiento de contenido pedagógico, al entenderla como un motor de la transformación del contenido matemático en formas pedagógicamente útiles y, en efecto, resulta evidente observar la capacidad transformadora de los ejemplos. Ahora bien, la elección de un ejemplo no es una cuestión baladí. ¿Por qué elegimos un ejemplo y no otro?, ¿por qué una secuencia de ejemplos tiene más valor que otra cuando tratamos de construir conceptos matemáticos?, ¿cómo caracterizar buenos o malos ejemplos?, ¿qué relevancia deben tener la transparencia o las dimensiones de variación de un concepto a la hora de una adecuada elección de ejemplos?

El conocimiento que el profesor de matemáticas utiliza para enseñarlas es de diferente naturaleza al conocimiento matemático común, y se le suele denominar conocimiento matemático especializado y la literatura en educación matemática muestra que se puede apreciar, de algún modo, la relación que siempre existe entre los ejemplos que el profesor escoge para enseñar determinado concepto y el conocimiento matemático que él mismo tiene de ese concepto, así como del conocimiento de cómo enseñarlo. La manera como el profesor trasmite la información matemática a sus alumnos se fundamenta en gran medida en la ejemplificación que emplea; también su capacidad de responder ante contingencias, y de resolver las cuestiones que le plantean sus estudiantes está mediatizada por los ejemplos que es capaz de usar.

Parece natural que se consideren las tres vertientes del conocimiento del profesor que están fuertemente relacionadas con la ejemplificación matemática que el profesor proporciona a sus estudiantes: el conocimiento del contenido matemático, el conocimiento del alumno y el conocimiento didáctico del contenido; la calidad del conocimiento del contenido matemático afecta a lo que es enseñado y cómo es enseñado. En lo que respecta a la ejemplificación, el aspecto matemático del ejemplo está ligado a la verificación de ciertas condiciones matemáticas que dependen del concepto o del principio que se pretende ilustrar. El conocimiento de los estudiantes se relaciona con la comprensión que el profesor tiene de cómo los estudiantes aprenden y de cómo sus conocimientos previos afectan a la construcción de nuevos conocimientos. También se relaciona con la sensibilidad que el profesor tiene sobre las debilidades y sobre las potencialidades en los aprendizajes de sus alumnos y, en lo que se refiere a la ejemplificación, con la consciencia de las consecuencias de las sub y sobre generalizaciones que los alumnos puedan hacer a partir de los ejemplos presentados. A esto puede añadirse la tendencia que los alumnos puedan tener para fijarse en los aspectos irrelevantes del ejemplo en vez de atender a sus aspectos fundamentales. El conocimiento didáctico del contenido se une con la transformación de la matemática en medios por los cuales el aprendizaje puede ser facilitado.

En esta investigación se han estudiado y analizado los procesos de enseñanza y aprendizaje de los alumnos con edades comprendidas entre los 15 y los 16 años, observando los ejemplos empleados por su profesora como puente entre la definición de conceptos relacionados con las funciones y la profundización de los conocimientos de los estudiantes en este tema.

Para ello se ha desarrollado un Estudio de Caso, en el marco de una investigación empírica que ha pretendido, por un lado, investigar un fenómeno complejo, actual y de características únicas que se desarrolla en una coyuntura real y, por otro, analizarlo y describirlo en profundidad, en su contexto y de una forma holística, sobre la base de los resultados obtenidos. La recogida de la información fue hecha en el contexto escolar, que, en el ámbito del conocimiento del profesor, implicó observaciones del aula de la profesora estudiada.

La forma en que la profesora utilizó los ejemplos, especialmente en lo que concierne a la transparencia y a la variación, permitió distinguir dos formas de transparencia. A una de ellas le llamamos Transparencia Inmediata y a la otra Transparencia Mediata.

La Transparencia Inmediata es una característica de una representación que permite obtener de forma directa algunos aspectos propios de un concepto.

La Transparencia Mediata es una característica de la representación que permite encontrar aspectos de un concepto dado de forma indirecta.

Tomemos como ejemplo la ecuación f(x)=2(x-1)^2 - 3 . Esta representación de la función cuadrática es Inmediatamente Transparente a las coordenadas del vértice V(1;-3) y al sentido de la concavidad de la parábola, que es virada hacia arriba. Por otro lado, esta misma representación es Mediatamente Transparente al género de extremo que la función cuadrática posee, un mínimo, y que tiene dos raíces reales (dado que tiene el extremo negativo y el sentido de la concavidad virado hacia arriba) y el primer intervalo de monotonía es decreciente y el segundo intervalo de monotonía es creciente. El análisis de los episodios y de los ejemplos utilizados por la profesora estudiada evidencia aspectos sobre su forma de explicar y, por otro lado, deja ver las implicaciones que esa ejemplificación tiene en la adquisición y estructuración del concepto de función por parte de sus alumnos. Obviamente, ella ejemplifica con el objetivo de que sus estudiantes aprendan. Podemos decir que la forma en que utilizó los ejemplos, la labor que ella y sus alumnos hicieron con los ejemplos que incluimos en las categorías, bien como todo el conocimiento que empleó, se centró y se destinó a que cada uno de sus estudiantes desarrollara, estructurara y profundara el concepto de función.

Si analizamos el aprendizaje de este concepto desde la perspectiva de la Ejemplificación, podríamos afirmar que los alumnos aprenden si amplían sus Espacios de Ejemplos en relación al concepto de función. Por otra parte, si analizamos el aprendizaje desde la perspectiva de la construcción del concepto de función, podríamos decir que los alumnos aprenden si construyen su Imagen del Concepto bien articulada con la Definición del Concepto. Contrastando, de un lado tenemos que el Espacio de Ejemplos es un conjunto de ejemplos que un alumno construye y al cual accede para superar una situación y, del otro, que la Imagen del Concepto es una estructura cognitiva que el alumno utiliza para trabajar una situación. Aún así, percibimos que ambos modelos cumplen su objetivo.

El análisis de la ejemplificación de la profesora estudiada, se evidenció que estas dos perspectivas pueden ser coincidentes en unas situaciones y complementarias en otras. La investigación indica que el objetivo prioritario de la profesora estuvo orientado a la ampliación de los espacios de ejemplos de los alumnos y menos veces hacia la construcción de la imagen del concepto.

Dadas las semejanzas encontradas en este trabajo entre la ampliación de los espacios de ejemplos y su papel en el aprendizaje de los conceptos y la construcción de la imagen del concepto y su papel en la construcción de estructuras cognitivas, en el análisis de los episodios, el autor entiende que tal hecho era demasiado importante para que no fuera tenido en cuenta en la discusión sobre ejemplificación de la profesora. La duplicidad encontrada, la posibilidad de explicar su labor con sus alumnos recurriendo a los ejemplos, tanto por la ampliación de los espacios de ejemplos como por la construcción y profundización de estructuras cognitivas, llevó a pensar al autor de la investigación que las dos teorías tenían un alto grado de equivalencia y, cuando no, de complementariedad.

En síntesis, se muestra que es posible construir un perfil de una profesora en lo que se refiere a su forma de elegir, crear y usar los ejemplos. Siendo importante encontrar este tipo de perfil, tal no debe ser destinado a una catalogación o forma de evaluación, sino como elemento de desarrollo profesional.

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